4. Решите уравнение: a) \(\sqrt{7 - x^2} = \sqrt{-6x}\) б) \(2\sin x - 1 = 0\)

4. Решите уравнение:

1. а) \(\sqrt{7 - x^2} = \sqrt{-6x}\)
   Возведём обе части уравнения в квадрат:
   \( 7 - x^2 = -6x \)
   Перенесём все члены в одну сторону:
   \( x^2 - 6x - 7 = 0 \)
   Найдем дискриминант:
   \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \)
   Найдем корни:
   \( x_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
   \( x_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
   Проверим ОДЗ: \( 7 - x^2 \ge 0 \) и \( -6x \ge 0 \). Из \( -6x \ge 0 \) следует \( x \le 0 \).
   Корень \( x_1 = 7 \) не удовлетворяет условию \( x \le 0 \).
   Корень \( x_2 = -1 \) удовлетворяет условиям:
   \( 7 - (-1)^2 = 7 - 1 = 6 \ge 0 \)
   \( -6 \cdot (-1) = 6 \ge 0 \)
   Следовательно, \( x = -1 \) является решением.
2. б) \( 2\sin x - 1 = 0 \)
   \( 2\sin x = 1 \)
   \( \sin x = \frac{1}{2} \)
   Общее решение уравнения \( \sin x = a \) имеет вид \( x = \pm \arcsin a + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
   \( x = \pm \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n \)
   \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: а) \( -1 \); б) \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).