4. Решите уравнение: $$\frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{x^2-25} = 0$$.

Решение:

Для решения уравнения $$\frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{x^2-25} = 0$$ приведем дроби к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель $$x^2 - 25$$ на множители: $$x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$$.
2. Общий знаменатель: $$(x-5)(x+5)$$.
3. Приведем к общему знаменателю: $$\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{3x+15}{(x-5)(x+5)} = 0$$
4. Сложим числители: $$\frac{x(x+5) + (3x+15)}{(x-5)(x+5)} = 0$$
5. $$x^2 + 5x + 3x + 15 = 0$$
6. $$x^2 + 8x + 15 = 0$$
7. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = 8^2 - 4 − 1 − 15 = 64 - 60 = 4$$.
8. $$\sqrt{D} = 2$$.
9. $$x_1 = \frac{-8 - 2}{2} = -5$$
10. $$x_2 = \frac{-8 + 2}{2} = -3$$
11. Проверим ОДЗ: Знаменатель не должен быть равен нулю, значит $$x ≠ 5$$ и $$x ≠ -5$$.
12. $$x_1 = -5$$ не подходит, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: $$x = -3$$