5. Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

Обозначим:

• $$v_2$$ — скорость второго велосипедиста (км/ч)
• $$v_1$$ — скорость первого велосипедиста (км/ч)
• $$t_2$$ — время второго велосипедиста (ч)
• $$t_1$$ — время первого велосипедиста (ч)

Из условия задачи известно:

• Расстояние $$S = 130$$ км.
• $$v_1 = v_2 + 3$$
• $$t_1 = t_2 - 3$$

Формула расстояния: $$S = v − t$$.

Запишем уравнения для каждого велосипедиста:

• $$130 = v_1 − t_1 → 130 = (v_2 + 3)(t_2 - 3)$$
• $$130 = v_2 − t_2 → t_2 = \frac{130}{v_2}$$

Подставим $$t_2$$ в первое уравнение:

• $$130 = (v_2 + 3)(\frac{130}{v_2} - 3)$$
• $$130 = v_2 − \frac{130}{v_2} + 3 − 9$$
• $$130 = 130 - 3v_2 + 3v_2 - 9$$
• $$130 = 130 - 3v_2 + 3v_2 - 9$$
• $$130 = 130 + 3v_2 - \frac{390}{v_2} - 9$$
• $$130 = 130 + 3v_2 - \frac{390}{v_2} - 9$$
• $$0 = 3v_2 - \frac{390}{v_2} - 9$$
• Умножим обе части на $$v_2$$:
• $$0 = 3v_2^2 - 390 - 9v_2$$
• $$3v_2^2 - 9v_2 - 390 = 0$$
• Разделим на 3:
• $$v_2^2 - 3v_2 - 130 = 0$$

Решим квадратное уравнение для $$v_2$$:

• $$D = (-3)^2 - 4 − 1 − (-130) = 9 + 520 = 529$$
• $$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$$
• $$v_2 = \frac{-(-3) + 23}{2 − 1} = \frac{3 + 23}{2} = \frac{26}{2} = 13$$
• $$v_2 = \frac{3 - 23}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$v_2 = 13$$ км/ч.

Найдем скорость первого велосипедиста:

• $$v_1 = v_2 + 3 = 13 + 3 = 16$$ км/ч.

Найдем время каждого велосипедиста:

• $$t_2 = \frac{130}{13} = 10$$ часов.
• $$t_1 = \frac{130}{16} = 8.125$$ часов.
• Проверим условие: $$t_1 = t_2 - 3 → 8.125 = 10 - 3 = 7$$ (неверно).

Пересмотрим уравнение:

• $$130 = (v_2 + 3)(\frac{130}{v_2} - 3)$$
• $$130 = 130 - 3v_2 + 3− rac{390}{v_2}$$
• $$0 = -3v_2 + 3 - \frac{390}{v_2}$$
• Умножим на $$v_2$$:
• $$0 = -3v_2^2 + 3v_2 - 390$$
• $$3v_2^2 - 3v_2 + 390 = 0$$
• $$v_2^2 - v_2 + 130 = 0$$
• $$D = (-1)^2 - 4 − 1 − 130 = 1 - 520 = -519$$

Дискриминант отрицательный, значит, есть ошибка в постановке уравнения.

Вернемся к $$130 = (v_2 + 3)(t_2 - 3)$$ и $$t_2 = \frac{130}{v_2}$$.

Подставим $$v_1 = v_2 + 3$$ и $$t_1 = t_2 - 3$$ в $$S = v − t$$:

• $$130 = v_2 − t_2$$
• $$130 = (v_2 + 3)(t_2 - 3)$$
• $$130 = v_2 t_2 - 3v_2 + 3t_2 - 9$$
• $$130 = 130 - 3v_2 + 3t_2 - 9$$
• $$0 = -3v_2 + 3t_2 - 9$$
• $$3v_2 - 3t_2 + 9 = 0$$
• $$v_2 - t_2 + 3 = 0$$
• $$t_2 = v_2 + 3$$

Теперь у нас есть система:

• $$130 = v_2 − t_2$$
• $$t_2 = v_2 + 3$$

Подставим второе в первое:

• $$130 = v_2 (v_2 + 3)$$
• $$130 = v_2^2 + 3v_2$$
• $$v_2^2 + 3v_2 - 130 = 0$$

Решим квадратное уравнение для $$v_2$$:

• $$D = 3^2 - 4 − 1 − (-130) = 9 + 520 = 529$$
• $$\sqrt{D} = 23$$
• $$v_2 = \frac{-3 + 23}{2} = \frac{20}{2} = 10$$
• $$v_2 = \frac{-3 - 23}{2} = \frac{-26}{2} = -13$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$v_2 = 10$$ км/ч.

Скорость велосипедиста, пришедшего вторым, равна $$v_2$$.

Ответ: 10 км/ч