4. Решите уравнение относительно \(n\): 1) \(P_{n+1}:P_{n+2}=\frac16\); 2) \(P_n:P_{n-2}=20\).

Используем формулу \(P_k=k!\).

1. \(\frac{P_{n+1}}{P_{n+2}}=\frac{(n+1)!}{(n+2)!}=\frac1{n+2}\). Тогда \(\frac1{n+2}=\frac16\), откуда \(n+2=6\) и \(n=4\).
2. \(\frac{P_n}{P_{n-2}}=\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Получаем \(n(n-1)=20\), то есть \(n^2-n-20=0\). Разложим: \((n-5)(n+4)=0\), поэтому \(n=5\) или \(n=-4\). Поскольку индекс факториала должен быть неотрицательным и здесь \(n\ge2\), подходит только \(n=5\).

Ответ: 1) \(n=4\); 2) \(n=5\).