4. Решите уравнения: a) 625ˣ⁺⁸ = 25; б) 2³⁺ˣ : 2⁻³ˣ⁺⁵ = 1/16; в) log₁₁ x = 2; г) log₄(x-3) = log₄x - 2.

Решение:

а) 625ˣ⁺⁸ = 25

• Представим 625 как 25²:
• (25²)ˣ⁺⁸ = 25¹
• 25²⁽ˣ⁺⁸⁾ = 25¹
• 2(x+8) = 1
• 2x + 16 = 1
• 2x = 1 - 16
• 2x = -15
• x = -15/2 = -7.5

б) 2³⁺ˣ : 2⁻³ˣ⁺⁵ = 1/16

• Используем свойства степеней: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• 2⁽³⁺ˣ⁾ ⁻ ⁽⁻³ˣ⁺⁵⁾⁾ = 2⁻⁴
• 2³⁺ˣ⁺³ˣ⁻⁵ = 2⁻⁴
• 2⁴ˣ⁻² = 2⁻⁴
• 4x - 2 = -4
• 4x = -4 + 2
• 4x = -2
• x = -2/4 = -1/2

в) log₁₁ x = 2

• По определению логарифма:
• x = 11²
• x = 121

г) log₄(x-3) = log₄x - 2

• Перепишем -2 как логарифм по основанию 4: -2 = log₄(4⁻²) = log₄(1/16)
• log₄(x-3) = log₄x + log₄(1/16)
• log₄(x-3) = log₄(x * 1/16)
• log₄(x-3) = log₄(x/16)
• Приравниваем аргументы логарифмов:
• x - 3 = x/16
• 16(x - 3) = x
• 16x - 48 = x
• 16x - x = 48
• 15x = 48
• x = 48/15 = 16/5 = 3.2
• Проверка ОДЗ: x-3 > 0 => x > 3. x > 0. Оба условия выполняются для x = 3.2.

Ответ: а) -7.5; б) -1/2; в) 121; г) 3.2