4. Рис. 162. ABCD — трапеция. AD = 30, ∠BCD = 90°, ∠ABC = 135°, ∠BDC = 45°. Найти: BC.

Question

Вопрос:

4. Рис. 162. ABCD — трапеция. AD = 30, ∠BCD = 90°, ∠ABC = 135°, ∠BDC = 45°. Найти: BC.

Accepted Answer

Так как \(BC\parallel AD\), углы при боковой стороне \(AB\) дополняют друг друга до \(180^\circ\): \(\angle BAD=180^\circ-135^\circ=45^\circ\).

Угол \(ADC\) также равен \(90^\circ\), поскольку он односторонний с прямым углом \(BCD\) при параллельных основаниях. Диагональ делит его: \(\angle ADB=90^\circ-45^\circ=45^\circ\).

Треугольник \(ABD\) — прямоугольный равнобедренный, а \(AD=30\) — его гипотенуза. Поэтому \(BD=\frac{30}{\sqrt{2}}=15\sqrt{2}\).

Треугольник \(BCD\) прямоугольный, и его острый угол \(\angle BDC=45^\circ\), значит, он равнобедренный. Его гипотенуза \(BD=15\sqrt{2}\), поэтому \(BC=\frac{BD}{\sqrt{2}}=15\).

Ответ: \(BC=15\).