4. Ромб. 1. Докажите, что если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он является [текст обрезан; по смыслу: ромбом].

1. Пусть ABCD — параллелограмм, диагонали AC и BD пересекаются в точке O и перпендикулярны.

2. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC. Кроме того, BO — общая сторона треугольников AOB и COB.

3. Углы AOB и COB прямые. Следовательно, прямоугольные треугольники AOB и COB равны по двум катетам, откуда AB = BC.

4. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Вместе с AB = BC это даёт равенство всех четырёх сторон.

5. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Что и требовалось доказать.