4. С помощью выборки проведено исследование роста учащихся 6 класса. Результаты представлены на гистограмме. По горизонтали отмечены интервалы группировки, по вертикали — частоты. Например, в интервал 145-150 попали все результаты, которые больше чем 145, но не больше 150 см.

Решение:

Гистограмма показывает распределение роста учащихся 6 класса по интервалам.

а) Какова длина интервала группировки?

По оси абсцисс (горизонтальной) отмечены интервалы роста. Длина каждого интервала — это разница между верхней и нижней границей. Например, для интервала 145-150 длина равна \( 150 - 145 = 5 \) см.

Ответ: 5 см.

б) Оцените (найдите приближённо) медиану данных.

Чтобы найти медиану, нужно найти значение, которое делит распределение на две равные части по частоте. Общая частота (количество учащихся) — это сумма высот всех столбцов. Примерно:

• 145-150: высота около 0.1, значит, около 0.1 * N учащихся.
• 150-155: высота около 0.3, значит, около 0.3 * N учащихся.
• 155-160: высота около 0.25, значит, около 0.25 * N учащихся.
• 160-165: высота около 0.2, значит, около 0.2 * N учащихся.
• 165-170: высота около 0.1, значит, около 0.1 * N учащихся.
• 170-175: высота около 0.05, значит, около 0.05 * N учащихся.

Суммарная частота (если принять N=100): 10 + 30 + 25 + 20 + 10 + 5 = 100.

Медиана находится там, где накопленная частота достигает 50% (то есть 50 учащихся).

• Интервал 145-150: 10 учащихся.
• Интервал 150-155: 10 + 30 = 40 учащихся.
• Интервал 155-160: 40 + 25 = 65 учащихся.

Медиана попадает в интервал 155-160.

Чтобы оценить медиану, можно использовать формулу медианы для гистограммы: \( M = L + \frac{\frac{N}{2} - S}{f} \cdot w \)

Где: \( L \) — нижняя граница медианного интервала (155), \( N \) — общее число наблюдений (100), \( S \) — сумма частот интервалов, предшествующих медианному (10 + 30 = 40), \( f \) — частота медианного интервала (25), \( w \) — ширина медианного интервала (5).

\[ M = 155 + \frac{\frac{100}{2} - 40}{25} \cdot 5 = 155 + \frac{50 - 40}{25} \cdot 5 = 155 + \frac{10}{25} \cdot 5 = 155 + 0.4 \cdot 5 = 155 + 2 = 157 \]

Приблизительная медиана — 157 см.

Ответ: Примерно 157 см.

в) Оцените вероятность события «рост случайно выбранного шестиклассника окажется больше 155, но не больше 165 см.».

Нас интересуют учащиеся, рост которых находится в интервалах [155; 160) и [160; 165).

Приблизительная частота для интервала 155-160 составляет 0.25.

Приблизительная частота для интервала 160-165 составляет 0.2.

Суммарная относительная частота для интервала (155; 165] равна \( 0.25 + 0.2 = 0.45 \).

Вероятность события равна суммарной относительной частоте интервалов, которые нас интересуют.

Ответ: 0.45.