4. Сечением прямой треугольной призмы плоскостью, проведенной через ребро нижнего основания, длина которого 15 см, и вершину верхнего основания, является треугольник со сторонами 8 см, 15 см и 17 см. Найдите объем призмы, если известно, что угол между плоскостью данного сечения и нижним основанием равен 30°.

Стороны треугольника основания — 8, 15 и 17 см; это прямоугольный треугольник, поскольку \(8^2+15^2=17^2\). Его площадь равна \(\frac{8\cdot15}{2}=60\) см².

Ребро основания длиной 15 см служит общей стороной основания и сечения. Высота треугольника основания, опущенная на это ребро, равна \(\frac{2\cdot60}{15}=8\) см.

При наклоне плоскости сечения к плоскости основания на 30° высота призмы равна вертикальной составляющей соответствующего наклонного отрезка: \(h=8\tan30°=\frac{8}{\sqrt{3}}\) см.

Тогда объём призмы \(V=S_{осн}h=60\cdot\frac{8}{\sqrt{3}}=160\sqrt{3}\) см³.

Ответ: \(160\sqrt{3}\) см³.