5. В цилиндре через две образующие проведено сечение, площадь которого в 2 раза меньше площади осевого сечения. Найдите объем меньшей части цилиндра, отсеченной данной секущей плоскостью, если известно, что радиус основания цилиндра равен 6 см, а расстояние между основаниями цилиндра — 10 см.

Площадь осевого сечения равна \(2r\cdot h=12\cdot10=120\) см². Площадь данного сечения вдвое меньше, то есть 60 см². Сечение через две образующие — прямоугольник с высотой 10 см, поэтому хорда основания, служащая его шириной, равна \(60:10=6\) см.

Половина хорды равна 3 см. Для радиуса 6 см центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен 60°: \(\sin(\theta/2)=3/6=1/2\). Меньшая часть основания — круговой сегмент.

Площадь соответствующего сектора: \(\frac{60°}{360°}\pi\cdot6^2=6\pi\) см². Площадь треугольника внутри сектора: \(\frac12\cdot6^2\sin60°=9\sqrt{3}\) см².

Площадь меньшего сегмента равна \(6\pi-9\sqrt{3}\) см². Умножаем её на высоту цилиндра:

\(V=10(6\pi-9\sqrt{3})=60\pi-90\sqrt{3}\) см³.

Ответ: \((60\pi-90\sqrt{3})\) см³.