4. Сократите дробь: 1) а) (x² + x + 6)/(x² − 2x − 15); б) (x² − 5x − 6)/(x² − 8x + 12); в) (3x² + 5x − 2)/(x² − 3x − 10); г) (4x² − 5x + 1)/(1 − 4x² − 5x).

Разложим на множители и проверим, есть ли общие множители. Сокращение возможно только при наличии общего множителя; значения, обнуляющие знаменатель, исключаются.

а) Знаменатель x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3). Числитель x² + x + 6 не имеет рациональных корней: его дискриминант 1 − 24 = −23. Общих множителей нет, поэтому дробь не сокращается. Ограничения: x ≠ 5, −3.

б) Числитель x² − 5x − 6 = (x − 6)(x + 1), знаменатель x² − 8x + 12 = (x − 6)(x − 2). При x ≠ 6, 2 дробь сокращается до (x + 1)/(x − 2).

в) Числитель 3x² + 5x − 2 = (3x − 1)(x + 2), знаменатель x² − 3x − 10 = (x − 5)(x + 2). При x ≠ −2, 5 дробь сокращается до (3x − 1)/(x − 5).

г) Числитель 4x² − 5x + 1 = (4x − 1)(x − 1). Знаменатель 1 − 4x² − 5x = −(4x² + 5x − 1) = −(4x − 1)(x + 1). При x ≠ 1/4, −1 дробь сокращается до −(x − 1)/(x + 1) = (1 − x)/(x + 1).

Ответ: а) не сокращается; б) (x + 1)/(x − 2), x ≠ 6, 2; в) (3x − 1)/(x − 5), x ≠ −2, 5; г) (1 − x)/(x + 1), x ≠ 1/4, −1.