Параграф 29. Разложение квадратного трехчлена на множители. 1. Разложите на множители: 1) а) x² − 8x + 15; б) x² + 5x − 14; в) x² + 7x + 12; г) x² − 3x − 18; 2) а) 5x² + 7x − 24; б) 6x² + 5x − 1; в) 15x² − 8x + 1; г) x² − 2x − 2.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, находим его корни и используем разложение на линейные множители.

1. а) Для x² − 8x + 15 корни 3 и 5, поэтому x² − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5).

   б) Для x² + 5x − 14 корни 2 и −7, поэтому x² + 5x − 14 = (x − 2)(x + 7).

   в) Для x² + 7x + 12 корни −3 и −4, поэтому x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).

   г) Для x² − 3x − 18 корни 6 и −3, поэтому x² − 3x − 18 = (x − 6)(x + 3).

2. а) Для 5x² + 7x − 24 дискриминант D = 7² − 4 · 5 · (−24) = 529 = 23². Корни: x = (−7 ± 23)/10, то есть 8/5 и −3. Следовательно, 5x² + 7x − 24 = (x − 8/5)(5x + 15) = (5x − 8)(x + 3).

   б) 6x² + 5x − 1 = (6x − 1)(x + 1), поскольку раскрытие скобок даёт 6x² + 5x − 1.

   в) Дискриминант 15x² − 8x + 1 равен 64 − 60 = 4, корни 1/3 и 1/5. Поэтому 15x² − 8x + 1 = (3x − 1)(5x − 1).

   г) У x² − 2x − 2 корни 1 ± √3. Поэтому над действительными числами x² − 2x − 2 = (x − 1 − √3)(x − 1 + √3).

Ответ: разложения приведены для всех восьми трёхчленов.