4. Сократите дробь: \( \frac{n}{(n+1)!} \)

Пошаговое решение:

1. Знаменатель дроби равен (n+1)!.
2. Раскроем факториал: \( (n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! \).
3. Теперь дробь выглядит так: \( \frac{n}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!} \).
4. Сократим 'n' в числителе и знаменателе: \( \frac{1}{(n+1) \cdot (n-1)!} \).
5. Обратите внимание, что в вариантах ответа есть \( \frac{n}{n+1} \), \( \frac{1}{n+1} \), \( 1 \). Ни один из предложенных вариантов не является результатом сокращения \( \frac{n}{(n+1)!} \). Однако, если бы в числителе было \( n(n-1)! \), то результат был бы \( \frac{1}{n+1} \). Если бы в числителе было \( (n+1)! \), то результат был бы \( 1 \). Если бы в числителе было \( n \cdot n! \), то результат был бы \( \frac{n \cdot n!}{(n+1)!} = \frac{n \cdot n!}{(n+1)n!} = \frac{n}{n+1} \).
6. Предполагая, что в задании могла быть опечатка и имелось в виду \( \frac{n \cdot n!}{(n+1)!} \), тогда ответ: \( \frac{n}{n+1} \).
7. Если бы имелось в виду \( \frac{(n+1)! - n!}{(n+1)!} \), то \( \frac{(n+1)n! - n!}{(n+1)!} = \frac{n! (n+1-1)}{(n+1)!} = \frac{n!  n}{(n+1)n!} = \frac{n}{n+1} \).
8. Исходя из предложенных вариантов, наиболее вероятным является случай, когда исходная дробь была \( \frac{n \cdot n!}{(n+1)!} \) или \( \frac{(n+1)! - n!}{(n+1)!} \).

Ответ:

• Если исходная дробь \( \frac{n}{(n+1)!} \), то правильного ответа среди вариантов нет.
• Если предположить, что имелось в виду \( \frac{n  n!}{(n+1)!} \), то ответ \( \frac{n}{n+1} \) (вариант 2).
• Если предположить, что имелось в виду \( \frac{(n+1)! - n!}{(n+1)!} \), то ответ \( \frac{n}{n+1} \) (вариант 2).

Выбираем вариант 2, предполагая опечатку в условии.