4. Сократите дроби, при необходимости освободитесь от иррациональности в знаменателе: а) (5 − x²)/√(5 − x); б) (a + √(5a))/(√(10 + √(2a))).

а) Разложим числитель на множители: \(5-x^2=(\sqrt5-x)(\sqrt5+x)\). При этом \(\sqrt{5-x}\) в знаменателе исходной дроби не является множителем \(\sqrt5-x\), поэтому сокращать их нельзя. Рационализуем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{5-x}\):

\[\frac{5-x^2}{\sqrt{5-x}}=\frac{(5-x^2)\sqrt{5-x}}{5-x},\qquad x<5.\]

Дальнейшего сокращения в общем случае нет.

б) Исходное чтение знаменателя — \(\sqrt{10+\sqrt{2a}}\). В числителе \(a+\sqrt{5a}=\sqrt a(\sqrt a+\sqrt5)\). Тогда

\[\frac{a+\sqrt{5a}}{\sqrt{10+\sqrt{2a}}}=\frac{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt5)}{\sqrt{10+\sqrt{2a}}}.\]

Общих множителей для сокращения нет. Чтобы освободить знаменатель от корня, умножим дробь на \(\sqrt{10+\sqrt{2a}}\):

\[\frac{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt5)\sqrt{10+\sqrt{2a}}}{10+\sqrt{2a}}.\]

Рационализуем оставшийся знаменатель множителем \(10-\sqrt{2a}\):

\[\frac{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt5)\sqrt{10+\sqrt{2a}}(10-\sqrt{2a})}{100-2a}.\]

Это преобразование применимо при допустимых значениях выражения; если \(100-2a=0\), исходное выражение рассматривают отдельно.

В пункте а) выражение не сокращается так, как если бы знаменателем было \(\sqrt5-x\). Если в изображении под корнем в знаменателе стоит именно \(5-x\), приведённое преобразование для этого пункта верно.