4) Solve the equation: \(\frac{x - 6}{7x + 3} = \frac{x - 6}{5x - 1}\)

Решение:

• Перенесем все члены уравнения в одну сторону: \(\frac{x - 6}{7x + 3} - \frac{x - 6}{5x - 1} = 0\).
• Вынесем общий множитель \((x - 6)\) за скобки: \((x - 6) \left( \frac{1}{7x + 3} - \frac{1}{5x - 1} \right) = 0\).
• Приравняем каждый множитель к нулю.
• Случай 1: \(x - 6 = 0\), что дает \(x = 6\).
• Случай 2: \(\frac{1}{7x + 3} - \frac{1}{5x - 1} = 0\).
• Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{(5x - 1) - (7x + 3)}{(7x + 3)(5x - 1)} = 0\).
• Упростим числитель: \(5x - 1 - 7x - 3 = -2x - 4\).
• Уравнение примет вид: \(\frac{-2x - 4}{(7x + 3)(5x - 1)} = 0\).
• Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \(-2x - 4 = 0\).
• Решим это уравнение: \(-2x = 4\), \(x = -2\).
• Проверим знаменатели для \(x = 6\): \(7(6) + 3 = 45
  eq 0\) и \(5(6) - 1 = 29
  eq 0\).
• Проверим знаменатели для \(x = -2\): \(7(-2) + 3 = -14 + 3 = -11
  eq 0\) и \(5(-2) - 1 = -10 - 1 = -11
  eq 0\).

Ответ: \(x = 6\) и \(x = -2\)