4. Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку В. На продолжении отмечена точка D так, что ВС = BD. Найдите величину угла BCD, если угол АСВ равен 60°, а угол ВАС равен 50°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Задание 4. Углы треугольника и внешний угол

Дано:

• Треугольник ABC.
• Точка D на продолжении стороны AB за B.
• \( BC = BD \).
• \( \angle ACB = 60^\circ \).
• \( \angle BAC = 50^\circ \).

Найти: \( \angle BCD \).

Решение:

1. Сначала найдем \( \angle ABC \) в треугольнике ABC. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).

\[ \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB \]

\[ \angle ABC = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ \]

2. Так как \( BC = BD \), треугольник BCD — равнобедренный. Углы при основании равны:

\[ \angle BCD = \angle BDC \]

Угол \( \angle ABC \) является внешним для треугольника BCD, но это не так. Точка D лежит на продолжении AB, поэтому \( \angle CBD \) — развернутый угол (180 градусов) не образуется. У нас есть \( \angle ABC = 70^\circ \). Угол \( \angle CBD \) смежный с \( \angle ABC \) по прямой AD. Поэтому:

\[ \angle CBD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \]

Теперь, в равнобедренном треугольнике BCD, сумма углов равна \( 180^\circ \):

\[ \angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180^\circ \]

\[ 110^\circ + \angle BCD + \angle BCD = 180^\circ \]

\[ 110^\circ + 2 \angle BCD = 180^\circ \]

\[ 2 \angle BCD = 180^\circ - 110^\circ \]

\[ 2 \angle BCD = 70^\circ \]

\[ \angle BCD = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \]

Ответ: 35