4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды = 12 см, а боковое ребро = 7 см. Найти S бок. поверхности и высоту.

Дано:

• Пирамида правильная треугольная.
• Сторона основания: $$a = 12$$ см.
• Боковое ребро: $$l = 7$$ см.

Найти:

1. Площадь боковой поверхности ($$S_{бок}$$).
2. Высоту пирамиды ($$h$$).

Решение:

1. Находим апофему пирамиды ($$h_a$$):

   В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Апофема – это высота боковой грани.

   Сначала найдем высоту основания (медиану):

   \[ h_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

   \[ h_{осн} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \] см.

   Центр правильного треугольника (точка пересечения медиан) делит медиану в отношении 2:1. Расстояние от вершины до центра (радиус описанной окружности) $$R = \frac{2}{3} h_{осн}$$, а расстояние от центра до середины стороны (радиус вписанной окружности) $$r = \frac{1}{3} h_{осн}$$.

   Для нахождения апофемы используем прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, апофемой и радиусом вписанной окружности (расстояние от центра основания до середины стороны основания):

   \[ r = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \] см.

   Теперь находим апофему по теореме Пифагора:

   \[ l^2 = h_a^2 + r^2 \]

   \[ 7^2 = h_a^2 + (2\sqrt{3})^2 \]

   \[ 49 = h_a^2 + (4 \times 3) \]

   \[ 49 = h_a^2 + 12 \]

   \[ h_a^2 = 49 - 12 \]

   \[ h_a^2 = 37 \]

   \[ h_a = \sqrt{37} \] см.

2. Находим площадь боковой поверхности:

   Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему:

   \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times P_{осн} \times h_a \]

   Периметр основания: $$P_{осн} = 3 \times a = 3 \times 12 = 36$$ см.

   \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times 36 \times \sqrt{37} \]

   \[ S_{бок} = 18\sqrt{37} \] кв. см.

3. Находим высоту пирамиды ($$h$$):

   Высота пирамиды ($$h$$), радиус описанной окружности ($$R$$) и боковое ребро ($$l$$) образуют прямоугольный треугольник. Сначала найдем $$R$$.

   \[ R = \frac{2}{3} h_{осн} \]

   \[ R = \frac{2}{3} \times 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \] см.

   Теперь находим высоту по теореме Пифагора:

   \[ l^2 = h^2 + R^2 \]

   \[ 7^2 = h^2 + (4\sqrt{3})^2 \]

   \[ 49 = h^2 + (16 \times 3) \]

   \[ 49 = h^2 + 48 \]

   \[ h^2 = 49 - 48 \]

   \[ h^2 = 1 \]

   \[ h = 1 \] см.

Ответ: 1) $$18\sqrt{37}$$ кв. см. 2) 1 см.