5. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 84 и BC = BM. Найдите АН.

Решение:

В треугольнике ABC проведена медиана BM, следовательно, \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42 \).

Известно, что \( BC = BM \). Это означает, что треугольник BCM — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle BCM = \angle BMC \).

Высота BH проведена к стороне AC. В прямоугольном треугольнике BHC, \( \angle BHC = 90^{\circ} \).

В треугольнике BCM, \( \angle BMC \) и \( \angle BCM \) равны. Также \( \angle MBC + \angle BCM + \angle BMC = 180^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник BHC. \( \angle BCH = \angle BCM \). \( \angle BHC = 90^{\circ} \). \( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle BCM \).

Так как \( \angle BCM = \angle BMC \), то \( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle BMC \).

Угол \( \angle BMC \) и \( \angle AMB \) — смежные, \( \angle AMB + \angle BMC = 180^{\circ} \).

В равнобедренном треугольнике BCM, \( \angle BMC = \angle BCM \). Из \( BC = BM \) следует, что \( \angle BCM = \angle BMC \).

В треугольнике BCM, \( \angle MBC + 2 \angle BCM = 180^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике BHC, \( \angle BHC = 90^{\circ} \). \( \angle BCH = \angle BCM \). \( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle BCM \).

В треугольнике AMB, \( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BMC \).

Так как \( \angle BMC = \angle BCM \), то \( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BCM \).

В треугольнике ABM, \( \angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^{\circ} \).

\( \angle BAM + \angle ABM + 180^{\circ} - \angle BCM = 180^{\circ} \).

\( \angle BAM + \angle ABM - \angle BCM = 0^{\circ} \).

\( \angle BAM + \angle ABM = \angle BCM \).

Угол \( \angle BCM \) — это \( \angle BCA \).

Если \( BC = BM \), то \( \triangle BCM \) равнобедренный. \( \angle BCM = \angle BMC \).

Если \( BM \) — медиана, то \( AM = MC = 42 \).

Рассмотрим \( \triangle BHC \). \( \angle BHC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle BHM \). \( BH \) — высота, \( BM \) — медиана.

Если \( BC = BM \), то \( \triangle BCM \) равнобедренный. \( \angle C = \angle BMC \).

В \( \triangle BHC \), \( \angle C + \angle HBC = 90^{\circ} \).

\( \angle BMC + \angle HBC = 90^{\circ} \).

\( \angle AMB + \angle BMC = 180^{\circ} \).

\( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BMC = 180^{\circ} - \angle C \).

В \( \triangle ABM \): \( \angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^{\circ} \).

\( \angle A + \angle ABM + 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} \).

\( \angle A + \angle ABM = \angle C \).

Из \( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C \).

В \( \triangle ABH \), \( \angle BAH + \angle ABH = 90^{\circ} \).

\( \angle A + \angle ABH = 90^{\circ} \).

\( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle A \).

\( \angle ABM = \angle ABH + \angle HBM \) или \( \angle ABM = \angle ABH - \angle MBH \).

В \( \triangle BHM \), \( \angle BHM = 90^{\circ} \). \( \angle HBM + \angle BMH = 90^{\circ} \).

\( \angle BMH = \angle BMC = \angle C \).

\( \angle HBM + \angle C = 90^{\circ} \).

\( \angle HBM = 90^{\circ} - \angle C \).

\( \angle ABM = \angle ABH + \angle HBM = (90^{\circ} - \angle A) + (90^{\circ} - \angle C) = 180^{\circ} - \angle A - \angle C \).

Но \( \angle ABM = \angle ABC - \angle MBC \).

Из \( \angle A + \angle ABM = \angle C \), подставляем \( \angle ABM = \angle C - \angle A \).

\( \angle C - \angle A + \angle A = \angle C \), это тождество.

Вернемся к \( BC = BM \). \( \triangle BCM \) — равнобедренный. \( \angle C = \angle BMC \).

В \( \triangle BHC \): \( CH = BC \cos C \) и \( BH = BC \sin C \).

\( MC = 42 \).

\( MH = |MC - CH| = |42 - BC \cos C| \).

В \( \triangle BHM \): \( BM^2 = BH^2 + MH^2 \).

\( BM^2 = (BC \sin C)^2 + (42 - BC \cos C)^2 \).

\( BM^2 = BC^2 \sin^2 C + 42^2 - 2 \cdot 42 \cdot BC \cos C + BC^2 \cos^2 C \).

\( BM^2 = BC^2 (\sin^2 C + \cos^2 C) + 42^2 - 84 BC \cos C \).

\( BM^2 = BC^2 + 42^2 - 84 BC \cos C \).

Так как \( BC = BM \), то:

\( BC^2 = BC^2 + 42^2 - 84 BC \cos C \).

\( 0 = 42^2 - 84 BC \cos C \).

\( 84 BC \cos C = 42^2 \).

\( BC \cos C = \frac{42^2}{84} = \frac{42 \cdot 42}{2 \cdot 42} = 21 \).

\( CH = BC \cos C = 21 \).

АН = АМ + МН или АН = АМ - МН. Но мы нашли CH.

AH = AC - CH = 84 - 21 = 63. Это если H лежит между A и C, и M правее H.

AH = MC - MH? Нет.

AH = AM - MH = 42 - MH. Или AH = AM + MH = 42 + MH.

CH = 21. \( MC = 42 \). Значит, H лежит между M и C, или M лежит между H и C.

Если H лежит между M и C, то \( MH = MC - CH = 42 - 21 = 21 \).

Тогда \( AH = AM + MH = 42 + 21 = 63 \).

Если M лежит между H и C, то \( MH = CH - MC = 21 - 42 \) (невозможно).

Если H лежит на M, то MH = 0. CH = MC = 42. Но CH = 21.

Значит, H лежит между M и C. \( MH = MC - CH = 42 - 21 = 21 \).

\( AH = AM + MH = 42 + 21 = 63 \).

Ответ: 63.