6. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС = 104, HC = 26 и ∠ACB = 75°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике BHC, \( \angle BHC = 90^{\circ} \) (так как BH — высота). \( \angle BCH = 75^{\circ} \).

\( \angle HBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ} \).

В треугольнике ABC, \( AC = 104 \) и \( HC = 26 \). Следовательно, \( AH = AC - HC = 104 - 26 = 78 \).

BM — медиана, поэтому \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{104}{2} = 52 \).

Теперь рассмотрим треугольник BHM. \( \angle BHM = 90^{\circ} \).

Найдём длину MH. \( MH = MC - CH = 52 - 26 = 26 \).

В прямоугольном треугольнике BHM:

\( BH \) — противолежащий катет к углу \( \angle BMH \) (который равен \( \angle AMB \)).

\( MH = 26 \) — прилежащий катет к углу \( \angle BMH \).

Найдём BH. В прямоугольном треугольнике BHC:

\( BH = HC \tan(75^{\circ}) \).

\( \tan(75^{\circ}) = \tan(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\tan 45^{\circ} + \tan 30^{\circ}}{1 - \tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \).

\( BH = 26 (2 + \sqrt{3}) = 52 + 26\sqrt{3} \).

Теперь в прямоугольном треугольнике BHM:

\( \tan(\angle AMB) = \frac{BH}{MH} = \frac{52 + 26\sqrt{3}}{26} = \frac{26(2 + \sqrt{3})}{26} = 2 + \sqrt{3} \).

Мы знаем, что \( \tan(75^{\circ}) = 2 + \sqrt{3} \).

Значит, \( \angle AMB = 75^{\circ} \).

Ответ: 75.