4. Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник и его площадь.

Решение:

Для равностороннего треугольника:

• Радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле: \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \), где \( a \) — сторона треугольника.
• Площадь равностороннего треугольника \( S \) можно найти по формуле: \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

Дано: сторона \( a = 14\sqrt{3} \).

1. Находим радиус вписанной окружности:

• \( r = \frac{14\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{14}{2} = 7 \)

2. Находим площадь треугольника:

• \( S = \frac{(14\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} \)
• \( S = \frac{(196 \cdot 3) \sqrt{3}}{4} \)
• \( S = \frac{588 \sqrt{3}}{4} \)
• \( S = 147\sqrt{3} \)

Финальный ответ:

Радиус вписанной окружности равен 7, а площадь треугольника равна \( 147\sqrt{3} \).