4. Стороны AC и BC треугольника ABC равны. Луч CM является биссектрисой угла BCD, внешнего угла при вершине C. Угол MCD равен 50°. Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

По условию, AC = BC, значит, треугольник ABC — равнобедренный. Углы при основании AB равны: \(\angle BAC = \angle ABC\).

Луч CM — биссектриса внешнего угла BCD. Это значит, что \(\angle BCM = \angle MCD\).

По условию, \(\angle MCD = 50^{\circ}\), следовательно, \(\angle BCM = 50^{\circ}\).

Внешний угол BCD = \(\angle BCM + \angle MCD = 50^{\circ} + 50^{\circ} = 100^{\circ}\).

Внутренний угол \(\angle ACB\) и внешний угол BCD — смежные, их сумма равна 180°.

\(\angle ACB = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}\).

Сумма углов треугольника ABC равна 180°:

\(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}\).

Так как \(\angle BAC = \angle ABC\), обозначим их за x.

\( x + x + 80^{\circ} = 180^{\circ}\)

\( 2x = 180^{\circ} - 80^{\circ}\)

\( 2x = 100^{\circ}\)

\( x = 50^{\circ}\).

Следовательно, \(\angle BAC = 50^{\circ}\).

Ответ: 50.