6. Углы треугольника ABC относятся как A:B:C = 1:2:3. Биссектриса BM равнобедренного ABC равна 24. Найдите отрезок MC.

Решение:

Пусть углы треугольника ABC равны \( x \), \( 2x \) и \( 3x \).

Сумма углов треугольника равна 180°.

\( x + 2x + 3x = 180^{\circ} \)

\( 6x = 180^{\circ} \)

\( x = 30^{\circ} \).

Таким образом, углы треугольника ABC:

• \(\angle A = x = 30^{\circ}\)
• \(\angle B = 2x = 60^{\circ}\)
• \(\angle C = 3x = 90^{\circ}\)

Треугольник ABC — прямоугольный, так как \(\angle C = 90^{\circ}\).

BM — биссектриса угла ABC.

\(\angle ABM = \angle MBC = \angle ABC / 2 = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}\).

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \(\angle A = 30^{\circ}\)
• \(\angle B = 60^{\circ}\)
• \(\angle C = 90^{\circ}\)

Рассмотрим треугольник BCM:

• \(\angle MBC = 30^{\circ}\)
• \(\angle BCM = 90^{\circ}\)

Угол \(\angle BMC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}\).

В треугольнике BCM, \(\angle MBC = 30^{\circ}\) и \(\angle BMC = 60^{\circ}\). Угол \(\angle BCM = 90^{\circ}\).

В треугольнике BCM, сторона, противолежащая углу в 30° (MC), равна половине гипотенузы (BC).

\( MC = \frac{1}{2} BC \).

В прямоугольном треугольнике ABC, сторона, противолежащая углу в 30° (BC), равна половине гипотенузы (AB).

\( BC = \frac{1}{2} AB \).

Из этого следует, что \( MC = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} AB) = \frac{1}{4} AB \).

Биссектриса BM равна 24. Эта информация может быть использована для нахождения сторон, но в данном случае, если мы находим MC, нам нужна BC. Отрезок MC является катетом в прямоугольном треугольнике BCM.

В треугольнике BCM: \(\angle BCM = 90^{\circ}\), \(\angle MBC = 30^{\circ}\), \(\angle BMC = 60^{\circ}\). BM — гипотенуза.

MC — катет, противолежащий углу \(\angle MBC = 30^{\circ}\).

\( MC = BM \cdot \sin(30^{\circ}) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \).

Ответ: 12.