4) Стороны прямоугольника √3 см и 5 см. Найти

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

а) Углы, которые составляет диагональ со сторонами:

1. Шаг 1: Пусть стороны прямоугольника равны \( a = 5 \) см и \( b = \sqrt{3} \) см.
2. Шаг 2: Диагональ \( d \) прямоугольника можно найти по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + b^2 \).
3. Шаг 3: \( d^2 = 5^2 + (\sqrt{3})^2 = 25 + 3 = 28 \) см².
4. Шаг 4: \( d = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \) см.
5. Шаг 5: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами \( a \), \( b \) и диагональю \( d \).
6. Шаг 6: Пусть \( \alpha \) — угол между диагональю и стороной \( a \), а \( \beta \) — угол между диагональю и стороной \( b \).
7. Шаг 7: Используем тригонометрические функции:
• \( \cos \alpha = \frac{a}{d} = \frac{5}{2\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{14} \)
• \( \sin \alpha = \frac{b}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14} \)
• \( \text{tg} \alpha = \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{3}}{5} \)
• \( \alpha = \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{5}) \)
8. Шаг 8: Аналогично для угла \( \beta \):
• \( \cos \beta = \frac{b}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14} \)
• \( \sin \beta = \frac{a}{d} = \frac{5}{2\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{14} \)
• \( \text{tg} \beta = \frac{a}{b} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \)
• \( \beta = \text{arctg}(\frac{5\sqrt{3}}{3}) \)

а) Ответ: Углы, которые составляет диагональ со сторонами, равны \( \alpha = \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{5}) \) и \( \beta = \text{arctg}(\frac{5\sqrt{3}}{3}) \).

б) Диагональ прямоугольника:

1. Шаг 1: Стороны прямоугольника \( a = 5 \) см и \( b = \sqrt{3} \) см.
2. Шаг 2: Диагональ \( d \) находим по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + b^2 \).
3. Шаг 3: \( d^2 = 5^2 + (\sqrt{3})^2 = 25 + 3 = 28 \) см².
4. Шаг 4: \( d = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \) см.

б) Ответ: Диагональ прямоугольника равна \( 2\sqrt{7} \) см.