4. Сумма квадратов числителя и знаменателя некоторой дроби равна 25. Сумма этой дроби и обратной ей дроби равна 25/12. Найти дробь.

Обозначим числитель через \(a\), а знаменатель через \(b\), где \(b\ne0\). По условию \(a^2+b^2=25\), а сумма дроби и обратной ей равна \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{25}{12}\).

Поскольку \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\), получаем \(\dfrac{25}{ab}=\dfrac{25}{12}\), откуда \(ab=12\).

Тогда \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2=25+24=49\), поэтому \(a+b=7\) или \(a+b=-7\). Из этих условий и \(ab=12\) получаем пары числителя и знаменателя \((3,4), (4,3), (-3,-4), (-4,-3)\). Соответствующие дроби — \(\dfrac34\) и \(\dfrac43\).

Ответ: \(\dfrac34\) или \(\dfrac43\).