4) Сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см², а его периметр равен 18 см. Найдите стороны прямоугольника. б)** Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

а) Стороны прямоугольника. Пусть стороны равны a и b см. Из периметра получаем a + b = 9, а по условию a² + b² = 45. Возведём сумму в квадрат: (a + b)² = a² + 2ab + b², поэтому 81 = 45 + 2ab и ab = 18. Следовательно, стороны — корни уравнения t² − 9t + 18 = 0: (t − 3)(t − 6) = 0.

Ответ: 3 см и 6 см.

б) Обозначим доли кислоты в первом и втором растворах через c₁ и c₂. В смеси всех растворов содержится 60 · 0,33 = 19,8 кг кислоты, поэтому 40c₁ + 20c₂ = 19,8. При смешивании равных масс концентрация равна среднему арифметическому концентраций, значит (c₁ + c₂)/2 = 0,47, то есть c₁ + c₂ = 0,94. Подставим c₂ = 0,94 − c₁ в первое уравнение: 40c₁ + 20(0,94 − c₁) = 19,8. Отсюда 20c₁ = 1 и c₁ = 0,05. Масса кислоты в первом сосуде: 40 · 0,05 = 2 кг.

Ответ: в первом растворе содержится 2 кг кислоты.