4. Тело движется по прямой так, что расстояние S (в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t)=3/4t⁴-2/3t³+3t²-21. Чему будет равна мгновенная скорость (м/с) через 3 с после начала движения?

Решение:

Мгновенная скорость — это первая производная от расстояния по времени:

• $$v(t) = \frac{dS(t)}{dt}$$
• $$v(t) = \frac{d}{dt}(\frac{3}{4}t^4 - \frac{2}{3}t^3 + 3t^2 - 21)$$
• $$v(t) = \frac{3}{4} \cdot 4t^3 - \frac{2}{3} \cdot 3t^2 + 3 \cdot 2t - 0$$
• $$v(t) = 3t^3 - 2t^2 + 6t$$

Подставим $$t=3$$ с:

• $$v(3) = 3(3)^3 - 2(3)^2 + 6(3)$$
• $$v(3) = 3 \cdot 27 - 2 \cdot 9 + 18$$
• $$v(3) = 81 - 18 + 18$$
• $$v(3) = 81$$ м/с

Ответ: 81 м/с