4) Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках M и F соответственно. Найдите длину MF, если BH=15.

Пусть координаты заданы так: B = (0, 0), AB — горизонтальная ось, CB — вертикальная. Обозначим H = (u, v). Поскольку BH — высота к гипотенузе AC, вектор BH перпендикулярен AC. Направляющий вектор AC равен (−u, −v), поэтому его наклон согласуется с перпендикулярностью BH.

1. Окружность с диаметром BH имеет центр (u/2, v/2) и радиус BH/2 = 7.5.
2. Её пересечение с AB (осью x) помимо B имеет координаты M = (u, 0); пересечение с CB (осью y) помимо B имеет координаты F = (0, v). Это следует из уравнения окружности x² + y² = ux + vy.
3. Следовательно, MF² = (u − 0)² + (0 − v)² = u² + v² = BH².

Значит, MF = BH.

Ответ: 15.