4. Точки E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD; AE = ED, BF:FC = 4:3. Выразите вектор EF через векторы \(\vec m=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec n=\overrightarrow{AD}\).

Так как \(AE=ED\), точка E — середина AD, поэтому \(\overrightarrow{AE}=\frac12\vec n\).

Отношение \(BF:FC=4:3\) означает, что \(\overrightarrow{BF}=\frac47\overrightarrow{BC}=\frac47\vec n\), поскольку в параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec n\).

Представим вектор EF через путь от E к F через A и B:

\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=-\frac12\vec n+\vec m+\frac47\vec n=\vec m+\frac1{14}\vec n\).

Ответ: \(\overrightarrow{EF}=\vec m+\frac1{14}\vec n\).