4. Точки М и Р лежат соответственно на сторонах ВС и АВ треугольника АВС, причем MP II АС. Найти сторону АВ, если АС=12 см, МР=4 см, РВ=5 см?

Пошаговое решение:

1. По условию, MP || AC. Это означает, что треугольник BMP подобен треугольнику BAC (по двум углам: угол B общий, а углы BMP и BAC равны как соответствующие при параллельных прямых MP и AC и секущей AB).
2. Из подобия треугольников следует равенство отношений их соответствующих сторон:
   
   \( rac{BP}{BA} = rac{MP}{AC} = rac{BM}{BC} \)
3. Нам даны длины: AC = 12 см, MP = 4 см, PB = 5 см.
4. Нам нужно найти сторону AB.
5. Используем отношение: \( rac{BP}{BA} = rac{MP}{AC} \).
6. Подставляем известные значения: \( rac{5}{BA} = rac{4}{12} \).
7. Упрощаем дробь: \( rac{5}{BA} = rac{1}{3} \).
8. Находим BA (сторону AB) путем перекрестного умножения:
   
   BA ⋅ 1 = 5 ⋅ 3
   BA = 15 см.

Ответ: 15 см