4. $\triangle ABC$ задан координатами своих вершин: A(0;1), B(1;-4), C(5;2). а) докажите, что $\triangle ABC$ равнобедренный; б) найдите его периметр; в) найдите длину высоты AH.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. $\triangle ABC$ задан координатами своих вершин: A(0;1), B(1;-4), C(5;2). а) докажите, что $\triangle ABC$…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Вычислим длины сторон по формуле расстояния между точками:

$AB=\sqrt{(1-0)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{26}$.

$AC=\sqrt{(5-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{26}$.

Следовательно, $AB=AC$, поэтому треугольник равнобедренный с основанием $BC$.

б) $BC=\sqrt{(5-1)^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Тогда периметр:

$P=AB+AC+BC=2\sqrt{26}+2\sqrt{13}$.

в) Площадь можно найти через определитель векторов $\overrightarrow{AB}=(1;-5)$ и $\overrightarrow{AC}=(5;1)$:

$S=\frac12|1\cdot1-(-5)\cdot5|=13$.

Также $S=\frac12\,BC\cdot AH$, поэтому $AH=\frac{2S}{BC}=\frac{26}{2\sqrt{13}}=\sqrt{13}$.

Ответ: а) $AB=AC=\sqrt{26}$, треугольник равнобедренный; б) $P=2\sqrt{26}+2\sqrt{13}$; в) $AH=\sqrt{13}$.

4. \(\triangle ABC\) задан координатами своих вершин: A(0;1), B(1;-4), C(5;2). а) докажите, что \(\triangle ABC\) равнобедренный; б) найдите его периметр; в) найдите длину высоты AH.