4. Учитель проверил работы трех учеников: Алексеева, Васильева, Сергеева, но не захватил их с собой. Ученикам он сказал: «Вы все получили разные оценки: «3», «4» и «5». У Сергеева не «5», у Васильева не «4», а вот у Алексеева, по-моему, «4». Впоследствии оказалось, что учитель верно высказался об оценке только одного ученика. Какая оценка у каждого ученика?

Решение:

Оценки: 3, 4, 5. Ученики: Алексеев, Васильев, Сергеев.

Учитель высказал следующие предположения:

• У Сергеева не «5».
• У Васильева не «4».
• У Алексеева, по-моему, «4».

Только одно из этих высказываний верно.

Рассмотрим три случая:

1. Если верно, что у Алексеева «4».
   Тогда высказывания «У Сергеева не «5»» и «У Васильева не «4»» — ложные.
   Если «У Сергеева не «5»» — ложное, значит, у Сергеева — «5».
   Если «У Васильева не «4»» — ложное, значит, у Васильева — «4».
   Получаем: Алексеев — «4», Васильев — «4», Сергеев — «5».
   Но оценки должны быть разными (3, 4, 5). Противоречие.
2. Если верно, что у Сергеева не «5».
   Тогда высказывания «У Васильева не «4»» и «У Алексеева, по-моему, «4»» — ложные.
   Если «У Васильева не «4»» — ложное, значит, у Васильева — «4».
   Если «У Алексеева, по-моему, «4»» — ложное, значит, у Алексеева не «4».
   У нас есть: Сергеев — не «5», Васильев — «4», Алексеев — не «4».
   Так как у Алексеева не «4», и оценки разные, то у Алексеева может быть «3».
   Если Алексеев — «3», Васильев — «4», то у Сергеева остаётся «5».
   Но мы предположили, что у Сергеева не «5». Противоречие.
3. Если верно, что у Васильева не «4».
   Тогда высказывания «У Сергеева не «5»» и «У Алексеева, по-моему, «4»» — ложные.
   Если «У Сергеева не «5»» — ложное, значит, у Сергеева — «5».
   Если «У Алексеева, по-моему, «4»» — ложное, значит, у Алексеева не «4».
   У нас есть: Сергеев — «5», Васильев — не «4», Алексеев — не «4».
   Оценки: 3, 4, 5.
   Сергеев — «5».
   Алексеев не «4». Значит, у Алексеева может быть «3».
   Васильев не «4». Значит, у Васильева остаётся «3».
   Но оценки должны быть разными. Противоречие.
   
   Перепроверим логику:
   Учитель сказал: 1. С — не 5. 2. В — не 4. 3. А — 4.
   Только одно из этих утверждений верно.
   
   Если верно 1 (С — не 5):
   Тогда 2 (В — не 4) — ложно, значит, В = 4.
   И 3 (А — 4) — ложно, значит, А ≠ 4.
   У нас: В = 4. А ≠ 4. С ≠ 5.
   Оценки: 3, 4, 5.
   Если В = 4, то А может быть 3. С тогда остаётся 5. Но мы предположили, что С ≠ 5. Противоречие.
   
   Если верно 2 (В — не 4):
   Тогда 1 (С — не 5) — ложно, значит, С = 5.
   И 3 (А — 4) — ложно, значит, А ≠ 4.
   У нас: С = 5. В ≠ 4. А ≠ 4.
   Оценки: 3, 4, 5.
   Если С = 5, то А ≠ 4 и В ≠ 4.
   Следовательно, А и В должны быть «3». Но оценки разные. Противоречие.
   
   Если верно 3 (А — 4):
   Тогда 1 (С — не 5) — ложно, значит, С = 5.
   И 2 (В — не 4) — ложно, значит, В = 4.
   У нас: А = 4. С = 5. В = 4.
   Оценки: 3, 4, 5.
   Получаем: А = 4, В = 4, С = 5. Но оценки должны быть разными. Противоречие.
   
   ОШИБКА В МОЕМ АНАЛИЗЕ! Вернемся к случаю 2.
   
   Если верно 2 (В — не 4):
   Тогда 1 (С — не 5) — ложно, значит, С = 5.
   И 3 (А — 4) — ложно, значит, А ≠ 4.
   У нас есть:
   С = 5.
   В ≠ 4.
   А ≠ 4.
   Оценки: 3, 4, 5.
   Если С = 5, то оценки 3 и 4 остаются для А и В.
   А ≠ 4. Значит, А = 3.
   В ≠ 4. Значит, В = 3.
   Это опять противоречие, оценки не могут быть одинаковыми.

Давайте попробуем с конца:

Оценки: 3, 4, 5.

Утверждения учителя:

1. Сергеев ≠ 5
2. Васильев ≠ 4
3. Алексеев = 4

Только одно утверждение верно.

Случай 1: Верно утверждение 3 (Алексеев = 4).

• Алексеев = 4 (верно)
• Сергеев ≠ 5 (ложно) → Сергеев = 5
• Васильев ≠ 4 (ложно) → Васильев = 4

Результат: Алексеев = 4, Васильев = 4, Сергеев = 5. Не подходит, т.к. оценки должны быть разными.

Случай 2: Верно утверждение 2 (Васильев ≠ 4).

• Васильев ≠ 4 (верно)
• Сергеев ≠ 5 (ложно) → Сергеев = 5
• Алексеев = 4 (ложно) → Алексеев ≠ 4

У нас есть:
Сергеев = 5.
Алексеев ≠ 4.
Васильев ≠ 4.
Оценки: 3, 4, 5.
Сергеев = 5. Значит, Алексеев и Васильев получили 3 и 4.
Алексеев ≠ 4, значит, Алексеев = 3.
Васильев ≠ 4. Но у него осталась только оценка 4, что противоречит условию. Проверим, что именно ложно: Сергеев ≠ 5 (ложно) → Сергеев = 5. Алексеев = 4 (ложно) → Алексеев ≠ 4. Васильев ≠ 4 (верно).
Если А ≠ 4, и С = 5, то А и В должны получить 3 и 4.
А ≠ 4, поэтому А = 3.
В ≠ 4, но оценка 4 осталась для него. Снова противоречие.

Проверим второй случай еще раз:

Если верно утверждение 2: «У Васильева не 4».

• Тогда утверждение 1 («У Сергеева не 5») — ложно. Значит, Сергеев = 5.
• Тогда утверждение 3 («У Алексеева, по-моему, 4») — ложно. Значит, Алексеев ≠ 4.

Итак, мы имеем:

• Сергеев = 5
• Алексеев ≠ 4
• Васильев ≠ 4 (это верное утверждение)

Оценки: 3, 4, 5.
Сергеев получил 5. Остались оценки 3 и 4.
Алексеев ≠ 4, значит, Алексеев = 3.
Васильев ≠ 4. Но у него остаётся только оценка 4. Это противоречит условию, что утверждение «У Васильева не 4» верно. Опять ошибка.

Третий случай: Верно утверждение 1 (Сергеев ≠ 5).

• Сергеев ≠ 5 (верно)
• Васильев ≠ 4 (ложно) → Васильев = 4
• Алексеев = 4 (ложно) → Алексеев ≠ 4

Итак, мы имеем:
Васильев = 4.
Алексеев ≠ 4.
Сергеев ≠ 5.
Оценки: 3, 4, 5.
Васильев = 4. Остались оценки 3 и 5.
Алексеев ≠ 4. Он может получить 3 или 5.
Сергеев ≠ 5. Он может получить 3.
Если Сергеев = 3, то Алексееву остаётся 5. Но Алексеев ≠ 4, это условие выполнено. И Сергеев ≠ 5, это условие выполнено.
Получаем: Алексеев = 5, Васильев = 4, Сергеев = 3.

Проверим, верно ли только одно утверждение:

• «У Сергеева не 5» (верно, у него 3)
• «У Васильева не 4» (ложно, у него 4)
• «У Алексеева, по-моему, 4» (ложно, у него 5)

Действительно, только одно утверждение (первое) оказалось верным.

Ответ: Алексеев — 5, Васильев — 4, Сергеев — 3.