4.) Угол АОВ, равный 124°, лучом ОС разделен на два угла, разность которых равна 34°. Найдите эти углы. Чему равен угол, образованный лучом ОС и биссектрисой угла АОВ.

Решение:

Пусть угол АОС = \( x \)°, тогда угол СОВ = \( y \)°.

Известно, что \( x + y = 124 \)° и \( |x - y| = 34 \)°.

Рассмотрим два случая:

1. \( x - y = 34 \)°.

Решаем систему уравнений: \( \begin{cases} x + y = 124 \\ x - y = 34 \end{cases} \) Сложим уравнения: \( 2x = 158 \)°, \( x = 79 \)°. Тогда \( y = 124 - 79 = 45 \)°. Углы АОС = 79°, СОВ = 45°.

\( y - x = 34 \)°.

Решаем систему уравнений: \( \begin{cases} x + y = 124 \\ y - x = 34 \end{cases} \) Сложим уравнения: \( 2y = 158 \)°, \( y = 79 \)°. Тогда \( x = 124 - 79 = 45 \)°. Углы АОС = 45°, СОВ = 79°.

В обоих случаях углы равны 45° и 79°.

Биссектриса угла АОВ делит его пополам, то есть образует угол \( 124 \)° / 2 = 62° с каждой из сторон.

Пусть луч ОС образует угол 45° с ОА (т.е. угол АОС = 45°). Тогда угол между биссектрисой (62° от ОА) и лучом ОС будет \( 62 - 45 = 17 \)°.

Пусть луч ОС образует угол 79° с ОА (т.е. угол АОС = 79°). Тогда угол между биссектрисой (62° от ОА) и лучом ОС будет \( 79 - 62 = 17 \)°.

Ответ: Углы равны 45° и 79°. Угол, образованный лучом ОС и биссектрисой угла АОВ, равен 17°.