4. Упростить выражение: (a^(2/3) + b^(2/3))/(a − b) − 1/(a^(1/3) + b^(1/3)).

Положим \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Тогда \(a=x^3\), \(b=y^3\), и выражение принимает вид:

\(\frac{x^2+y^2}{x^3-y^3}-\frac{1}{x+y}\).

Разложим разность кубов: \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\). Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{(x^2+y^2)(x+y)-(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)}\).

В числителе \((x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3\), поэтому числитель равен \(x^2y+xy^2+2y^3=y(x^2+xy+2y^2)\).

Возвращаясь к переменным \(a\) и \(b\), получаем:

\(\frac{\sqrt[3]{b}\bigl(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+2\sqrt[3]{b^2}\bigr)}{(a-b)(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})}\).

Ограничения исходного выражения: \(a\ne b\) и \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\ne0\).

Ответ: \(\frac{\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+2\sqrt[3]{b^2})}{(a-b)(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})}\).