4. Упростить выражение: \(\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{a-b}\cdot\dfrac{2a-2b}{ab}\right)\cdot\dfrac{a^2b^2}{a^2-b^2}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Сначала упростим произведение в скобках:

\(\dfrac{1}{a-b}\cdot\dfrac{2a-2b}{ab}=\dfrac{1}{a-b}\cdot\dfrac{2(a-b)}{ab}=\dfrac{2}{ab}.\)

Тогда выражение в скобках равно:

\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{2}{ab}=\dfrac{b^2+a^2-2ab}{a^2b^2}=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2}.\)

Разложим разность квадратов и сократим:

\(\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2}\cdot\dfrac{a^2b^2}{(a-b)(a+b)}=\dfrac{a-b}{a+b}.\)

Ответ: \(\dfrac{a-b}{a+b}\).