4. Упростить выражение: \(\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x+y}\cdot\frac{2x+2y}{xy}\right)\cdot\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Сначала упростим произведение в скобках и приведём слагаемые к общему знаменателю:

\[\frac{1}{x+y}\cdot\frac{2x+2y}{xy}=\frac{2}{xy},\]

\[\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}=\frac{y^2+x^2+2xy}{x^2y^2}=\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}.\]

Умножим на последнюю дробь и разложим разность квадратов:

\[\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}\cdot\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}=\frac{(x+y)^2}{(x-y)(x+y)}=\frac{x+y}{x-y}.\]

Ответ: \(\frac{x+y}{x-y}\).