4. Упростите: а) \(\dfrac{m-k}{mk^{1/2}+m^{1/2}k}\); б) \((x^{1/4}+y^{1/4})^2-(x^{1/4}-y^{1/4})^2\); в) \((1000y)^{2/3}\cdot(0{,}01y^{1/3})^{-1/2}\).

а) Разложим числитель на множители:

\(m-k=(\sqrt m-\sqrt k)(\sqrt m+\sqrt k)\).

Знаменатель: \(m\sqrt k+\sqrt m\,k=\sqrt{mk}(\sqrt m+\sqrt k)\). Поэтому

\[\frac{m-k}{m\sqrt k+\sqrt m\,k}=\frac{\sqrt m-\sqrt k}{\sqrt{mk}}=\frac1{\sqrt k}-\frac1{\sqrt m}.\]

б) Применим формулу \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\):

\[(x^{1/4}+y^{1/4})^2-(x^{1/4}-y^{1/4})^2=4x^{1/4}y^{1/4}.\]

в) Используем свойства степеней:

\[(1000y)^{2/3}(0{,}01y^{1/3})^{-1/2}=1000^{2/3}y^{2/3}\cdot0{,}01^{-1/2}y^{-1/6}=100\cdot10\cdot y^{1/2}=1000\sqrt y.\]

Ответ: а) \(\dfrac1{\sqrt k}-\dfrac1{\sqrt m}\); б) \(4x^{1/4}y^{1/4}\); в) \(1000\sqrt y\).