4. Упростите выражение 1 - (3x - 1) / (9x^2 + 6x + 1) - 3x / (3x + 1).

Задание 4. Упрощение выражения

Шаг 1: Преобразуем знаменатель \[ 9x^2 + 6x + 1 \]

• Этот знаменатель является полным квадратом: \[ (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x + 1)^2 \]

Шаг 2: Перепишем выражение с учетом преобразованного знаменателя:

• \[ 1 - \frac{3x - 1}{(3x + 1)^2} - \frac{3x}{3x + 1} \]

Шаг 3: Приведем все к общему знаменателю \[ (3x + 1)^2 \]

• Первое слагаемое (1) представим как \[ \frac{(3x + 1)^2}{(3x + 1)^2} \]
• Второе слагаемое оставляем как есть: \[ -\frac{3x - 1}{(3x + 1)^2} \]
• Третье слагаемое \[ -\frac{3x}{3x + 1} \] домножим на \[ (3x + 1) \] в числителе и знаменателе:
• \[ -\frac{3x(3x + 1)}{(3x + 1)^2} = -\frac{9x^2 + 3x}{(3x + 1)^2} \]

Шаг 4: Сложим все части:

• \[ \frac{(3x + 1)^2 - (3x - 1) - (9x^2 + 3x)}{(3x + 1)^2} \]
• Раскроем скобки:
• \[ (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 \]
• \[ -(3x - 1) = -3x + 1 \]
• \[ -(9x^2 + 3x) = -9x^2 - 3x \]
• Соберем все в числителе:
• \[ (9x^2 + 6x + 1) + (-3x + 1) + (-9x^2 - 3x) \]
• \[ 9x^2 + 6x + 1 - 3x + 1 - 9x^2 - 3x \]
• Сгруппируем подобные члены:
• \[ (9x^2 - 9x^2) + (6x - 3x - 3x) + (1 + 1) \]
• \[ 0 + 0 + 2 \]
• Числитель равен 2.

Шаг 5: Окончательный результат:

• \[ \frac{2}{(3x + 1)^2} \]

Ответ: \[ \frac{2}{(3x + 1)^2} \]