4. Упростите выражение: 1) $\frac{y+6}{4y+8}-\frac{y+2}{4y-8}+\frac{5}{y^2-4}$; 2) $\left(\frac{a-1}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}\right):\frac{2a}{1-a^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростите выражение: 1) $\frac{y+6}{4y+8}-\frac{y+2}{4y-8}+\frac{5}{y^2-4}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели: $4y+8=4(y+2)$, $4y-8=4(y-2)$, $y^2-4=(y-2)(y+2)$. Тогда
\[\frac{y+6}{4(y+2)}-\frac{y+2}{4(y-2)}+\frac{5}{(y-2)(y+2)}=\frac{(y+6)(y-2)-(y+2)^2+20}{4(y-2)(y+2)}.\]
Числитель равен $y^2+4y-12-y^2-4y-4+20=4$, поэтому
\[\frac{1}{(y-2)(y+2)}=\frac{1}{y^2-4}.\]
Вычислим разность:
\[\frac{a-1}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}=\frac{(a-1)^2-(a+1)^2}{a^2-1}=\frac{-4a}{a^2-1}.\]
Так как $\frac{2a}{1-a^2}=-\frac{2a}{a^2-1}$, получаем
\[\frac{-4a}{a^2-1}:\frac{-2a}{a^2-1}=2.\]

Ответ: 1) $\frac{1}{y^2-4}$; 2) $2$.

4. Упростите выражение: 1) \(\frac{y+6}{4y+8}-\frac{y+2}{4y-8}+\frac{5}{y^2-4}\); 2) \(\left(\frac{a-1}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}\right):\frac{2a}{1-a^2}\).