4. Упростите выражение: а) a²+b² / 2a² + 2ab + b / a+b

Решение:

Чтобы упростить выражение, приведем его к общему знаменателю.

Исходное выражение:

\[ \frac{a^2+b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a+b} \]

Вынесем общий множитель 2a из знаменателя первой дроби:

\[ \frac{a^2+b^2}{2a(a + b)} + \frac{b}{a+b} \]

Общий знаменатель для обеих дробей будет 2a(a+b).

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 2a:

\[ \frac{a^2+b^2}{2a(a + b)} + \frac{b \times 2a}{(a+b) \times 2a} \]

\[ \frac{a^2+b^2}{2a(a + b)} + \frac{2ab}{2a(a + b)} \]

Теперь сложим числители, так как знаменатели одинаковые:

\[ \frac{a^2+b^2+2ab}{2a(a + b)} \]

Заметим, что числитель a² + 2ab + b² является формулой квадрата суммы: (a+b)².

\[ \frac{(a+b)^2}{2a(a + b)} \]

Сократим дробь, убрав один множитель (a+b) из числителя и знаменателя (при условии, что a+b
e 0):

\[ \frac{a+b}{2a} \]

Ответ: \(\frac{a+b}{2a}\)