4. Упростите выражение: а) \(\dfrac{n+3}{2n+2}-\dfrac{n+1}{2n-2}+\dfrac{3}{n^2-1}\); б) \(\dfrac{2a^2+7a+9}{a^3-1}+\dfrac{4a+3}{a^2+a+1}\).

Учитываем, что \(2n+2=2(n+1)\), \(2n-2=2(n-1)\), \(n^2-1=(n-1)(n+1)\). Приведём дроби к знаменателю \(2(n^2-1)\):

\[\frac{(n+3)(n-1)-(n+1)^2+6}{2(n^2-1)}=\frac{2}{2(n^2-1)}=\frac{1}{n^2-1}.\]

Ограничения: \(n\ne-1,1\).

Используем разложение \(a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\):

\[\frac{2a^2+7a+9+(4a+3)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{6(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{6}{a-1}.\]

В области действительных чисел исходное выражение определено при \(a\ne1\).