4. Упростите выражение: а) $\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac1x$; б) $\left(\frac{a}{a-2}+\frac{2}{a-2}\right):\frac{a-2}{a}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростите выражение: а) $\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac1x$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Разложим $x^2-16=(x-4)(x+4)$. Общий знаменатель — $x(x-4)(x+4)$:
\[\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac1x=\frac{2x(x+4)-x(x+8)-(x^2-16)}{x(x-4)(x+4)}.\]
Числитель равен $2x^2+8x-x^2-8x-x^2+16=16$. Следовательно,
\[\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac1x=\frac{16}{x(x-4)(x+4)},\quad x\ne-4,0,4.\]
б) Сначала сложим дроби в скобках, затем разделим на дробь, умножив на обратную:
\[\left(\frac{a}{a-2}+\frac{2}{a-2}\right):\frac{a-2}{a}=\frac{a+2}{a-2}\cdot\frac{a}{a-2}=\frac{a(a+2)}{(a-2)^2}.\]
Ограничения исходного выражения: $a\ne2$, $a\ne0$.

Ответ: а) $\frac{16}{x(x-4)(x+4)}$; б) $\frac{a(a+2)}{(a-2)^2}$.

4. Упростите выражение: а) \(\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac1x\); б) \(\left(\frac{a}{a-2}+\frac{2}{a-2}\right):\frac{a-2}{a}\).