4. Упростите выражение: \(\frac{1}{3-4n}+\frac{1}{3+4n}+\frac{1}{9+16n^2}+\frac{1}{81+256n^4}\).

Сначала сложим первые две дроби, используя общий знаменатель:

\[\frac{1}{3-4n}+\frac{1}{3+4n}=\frac{(3+4n)+(3-4n)}{(3-4n)(3+4n)}=\frac{6}{9-16n^2}.\]

Обозначим \(t=16n^2\). Тогда всё выражение имеет вид \(\frac{6}{9-t}+\frac{1}{9+t}+\frac{1}{81+t^2}\). Приведём к общему знаменателю \((9-t)(9+t)(81+t^2)\):

\[\frac{6(9+t)(81+t^2)+(9-t)(81+t^2)+(9-t)(81-t^2)}{(9-t)(9+t)(81+t^2)}=\frac{5832+324t+486t^2+6t^3}{(9-t)(9+t)(81+t^2)}.\]

Подставим \(t=16n^2\):

\[\frac{5832+5184n^2+124416n^4+24576n^6}{(9-16n^2)(9+16n^2)(81+256n^4)}.\]

Ответ: \(\frac{5832+5184n^2+124416n^4+24576n^6}{(9-16n^2)(9+16n^2)(81+256n^4)}\).