4. Упростите выражение: \(\frac{a^{1/2}+1}{a+a^{1/2}}\cdot a\).

Для действительных значений выражения необходимо \(a\ge 0\), а знаменатель не должен равняться нулю, поэтому \(a>0\).

Разложим знаменатель на множители: \(a+\sqrt a=\sqrt a(\sqrt a+1)\).

Тогда \(\frac{\sqrt a+1}{\sqrt a(\sqrt a+1)}\cdot a=\frac{a}{\sqrt a}=\sqrt a\).

Ответ: \(\sqrt a\), где \(a>0\).