4. Упростите выражение \(\frac{a+3}{1-a}\cdot\left(\frac{a}{a-3}+\frac{3-a}{a+3}\right)\) и найдите его значение при \(a=\frac13\).

Ограничения исходного выражения: \(a\ne1\), \(a\ne3\), \(a\ne-3\).

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{a}{a-3}+\frac{3-a}{a+3}=\frac{a(a+3)+(3-a)(a-3)}{(a-3)(a+3)}\).

Так как \((3-a)(a-3)=-(a-3)^2\), числитель равен \(a(a+3)-(a-3)^2=9(a-1)\). Поэтому

\(\frac{a+3}{1-a}\cdot\frac{9(a-1)}{(a-3)(a+3)}=-\frac9{a-3}=\frac9{3-a}\).

Подставим \(a=\frac13\): \(\frac9{3-\frac13}=\frac9{\frac83}=\frac{27}{8}\).

Ответ: упрощённое выражение — \(\frac9{3-a}\); при \(a=\frac13\) его значение равно \(\frac{27}{8}\).