4. Упростите выражение: \(\frac{x-1}{x^{3/4}-x^{1/2}}\cdot\frac{x^{1/2}-x^{1/4}}{x^{1/2}-1}\cdot x^{1/4}-1\).

Положим \(t=x^{1/4}\). Тогда \(x=t^4\), \(x^{3/4}=t^3\), \(x^{1/2}=t^2\). Учитываем ограничения исходного выражения: \(x>0\), \(x\ne1\).

Разложим на множители:

\(\frac{t^4-1}{t^3-t^2}\cdot\frac{t^2-t}{t^2-1}\cdot t-1\)

\(=\frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{t^2(t-1)}\cdot\frac{t(t-1)}{(t-1)(t+1)}\cdot(t-1).\)

Сокращаем общие множители, помня, что \(t\ne1\): результат равен \(\frac{(t^2+1)(t-1)}{t}\).

Возвращаемся к переменной \(x\): \(\frac{(x^{1/2}+1)(x^{1/4}-1)}{x^{1/4}}\).

Ответ: \(\frac{(x^{1/2}+1)(x^{1/4}-1)}{x^{1/4}}\), при \(x>0\), \(x\ne1\).