4. Упростите выражение: \(\frac{x-1}{x^{\frac34}-x^{\frac12}}\cdot\frac{x^{\frac12}-x^{\frac14}}{x^{\frac12}-1}\cdot x^{\frac14}-1\).

Пусть \(t=x^{\frac14}\). Тогда \(x=t^4\), \(x^{\frac12}=t^2\), \(x^{\frac34}=t^3\).

Преобразуем выражение:

\[\frac{t^4-1}{t^3-t^2}\cdot\frac{t^2-t}{t^2-1}\cdot t-1.\]

Разложим на множители:

\[\frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{t^2(t-1)}\cdot\frac{t(t-1)}{(t-1)(t+1)}\cdot t-1.\]

Сокращаем:

\[\frac{(t+1)(t^2+1)}{t^2}\cdot\frac{t}{t+1}\cdot t-1=t^2+1-1=t^2.\]

Так как \(t^2=x^{\frac12}\), получаем:

Ответ: \(\sqrt{x}\), при \(x>0\), \(x\ne1\).