4. Упростите выражение (в каждом есть умножение и деление): а) \(\left(\frac{m}{m-2}+\frac{m}{m+2}\right):\frac{m^2}{m^2-4}\cdot\frac14\); б) \(\frac{3n}{n+5}:\left(\frac{n}{3n+15}+\frac1n\right)\cdot\frac{n+5}{3n}\); в) \(\left(\frac2{y-3}-\frac4{y+3}\right):\frac{6y-18}{y^2-9}\cdot\frac{y+3}{2}\).

а) Сложим дроби в скобках, используя \(m^2-4=(m-2)(m+2)\):

\(\frac{m}{m-2}+\frac{m}{m+2}=\frac{m(m+2)+m(m-2)}{m^2-4}=\frac{2m^2}{m^2-4}\).

Выполним деление и умножение слева направо:

\(\frac{2m^2}{m^2-4}:\frac{m^2}{m^2-4}\cdot\frac14=2\cdot\frac14=\frac12\). Ограничения исходного выражения: \(m\ne-2,0,2\).

б) Сначала упростим сумму в скобках:

\(\frac{n}{3n+15}+\frac1n=\frac{n}{3(n+5)}+\frac1n=\frac{n^2+3n+15}{3n(n+5)}\).

Теперь заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

\(\frac{3n}{n+5}:\frac{n^2+3n+15}{3n(n+5)}\cdot\frac{n+5}{3n}=\frac{3n}{n+5}\cdot\frac{3n(n+5)}{n^2+3n+15}\cdot\frac{n+5}{3n}=\frac{3n(n+5)}{n^2+3n+15}\).

Ограничения: \(n\ne-5\), \(n\ne0\).

в) Сначала выполним вычитание в скобках:

\(\frac2{y-3}-\frac4{y+3}=\frac{2(y+3)-4(y-3)}{y^2-9}=\frac{2(9-y)}{y^2-9}\).

Так как \(6y-18=6(y-3)\), выполним деление и умножение:

\(\frac{2(9-y)}{(y-3)(y+3)}:\frac{6(y-3)}{(y-3)(y+3)}\cdot\frac{y+3}{2}=-\frac{(y-9)(y+3)}{6(y-3)}\).

Ограничения: \(y\ne-3\), \(y\ne3\).

Ответ: а) \(\frac12\); б) \(\frac{3n(n+5)}{n^2+3n+15}\); в) \(-\frac{(y-9)(y+3)}{6(y-3)}\).