4. Упростите выражение: (x−1)/(x^(3/4)+x^(1/2)) · (x^(1/2)+x^(1/4))/(x^(1/2)−1) − x^(1/4).

Пусть \(t=x^{\frac{1}{4}}\), тогда \(x=t^4\), \(x^{\frac{1}{2}}=t^2\), \(x^{\frac{3}{4}}=t^3\).

\(\frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}-1}-x^{\frac{1}{4}}=\frac{t^4-1}{t^3+t^2}\cdot\frac{t^2+t}{t^2-1}-t\).

Разложим на множители:

\(=\frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{t^2(t+1)}\cdot\frac{t(t+1)}{(t-1)(t+1)}-t\).

Сократим дроби:

\(=\frac{t^2+1}{t}-t=\frac{1}{t}=x^{-\frac{1}{4}}\).

ОДЗ: \(x>0\), \(x\ne1\).

Ответ: \(x^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\), \(x>0\), \(x\ne1\).