4. Упростите выражения: а) $\sqrt{45}+\sqrt{61\frac14}-11\sqrt{1\frac14}$; б) $\frac{3}{\sqrt5-\sqrt{11}}+\frac{4}{\sqrt3+\sqrt{11}}+\sqrt{1{,}25}$; в) $\left(\frac{\sqrt a+1}{\sqrt a-1}-\frac{\sqrt a-1}{\sqrt a+1}+4\sqrt a\right)\left(\sqrt a-\frac1{\sqrt a}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростите выражения: а) $\sqrt{45}+\sqrt{61\frac14}-11\sqrt{1\frac14}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Преобразуем смешанные числа и извлечём корни:

\[\sqrt{45}+\sqrt{61\frac14}-11\sqrt{1\frac14}=3\sqrt5+\frac{\sqrt{245}}2-11\cdot\frac{\sqrt5}2=3\sqrt5+\frac{7\sqrt5}2-\frac{11\sqrt5}2=\sqrt5.\]

б) Рационализуем знаменатели и заметим, что $\sqrt{1{,}25}=\frac{\sqrt5}{2}$:

\[\frac{3}{\sqrt5-\sqrt{11}}=-\frac{\sqrt5+\sqrt{11}}2,\qquad \frac{4}{\sqrt3+\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt3}2.\]

\[ -\frac{\sqrt5+\sqrt{11}}2+\frac{\sqrt{11}-\sqrt3}2+\frac{\sqrt5}2=-\frac{\sqrt3}2.\]

в) Область допустимых значений: $a>0$, $a\ne1$. Обозначим $t=\sqrt a$. Тогда

\[\frac{t+1}{t-1}-\frac{t-1}{t+1}+4t=\frac{(t+1)^2-(t-1)^2}{t^2-1}+4t=\frac{4t}{t^2-1}+4t=\frac{4t^3}{t^2-1}.\]

Также $t-\frac1t=\frac{t^2-1}{t}$, поэтому произведение равно $\frac{4t^3}{t^2-1}\cdot\frac{t^2-1}{t}=4t^2=4a$.

Ответ: а) $\sqrt5$; б) $-\frac{\sqrt3}{2}$; в) $4a$, при $a>0$, $a\ne1$.

4. Упростите выражения: а) \(\sqrt{45}+\sqrt{61\frac14}-11\sqrt{1\frac14}\); б) \(\frac{3}{\sqrt5-\sqrt{11}}+\frac{4}{\sqrt3+\sqrt{11}}+\sqrt{1{,}25}\); в) \(\left(\frac{\sqrt a+1}{\sqrt a-1}-\frac{\sqrt a-1}{\sqrt a+1}+4\sqrt a\right)\left(\sqrt a-\frac1{\sqrt a}\right)\).