4. В арифметической прогрессии $$a_5=3$$, $$a_9=15$$. Найдите $$S_{35}$$

Для нахождения суммы первых 35 членов арифметической прогрессии нам нужно знать первый член ($$a_1$$) и разность ($$d$$) прогрессии, а затем использовать формулу суммы. У нас даны $$a_5=3$$ и $$a_9=15$$. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$. Для $$a_5$$ имеем: $$3 = a_1 + 4d$$ Для $$a_9$$ имеем: $$15 = a_1 + 8d$$ Вычтем первое уравнение из второго: $$15 - 3 = (a_1 + 8d) - (a_1 + 4d)$$ $$12 = 4d$$ $$d = 3$$ Подставим найденное значение $$d=3$$ в первое уравнение, чтобы найти $$a_1$$: $$3 = a_1 + 4 \cdot 3$$ $$3 = a_1 + 12$$ $$a_1 = -9$$ Теперь, когда известны $$a_1$$ и $$d$$, найдем $$a_{35}$$: $$a_{35} = -9 + (35-1) \cdot 3 = -9 + 34 \cdot 3 = -9 + 102 = 93$$ Теперь найдем сумму 35 членов по формуле суммы арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$ Подставляем $$n=35$$, $$a_1=-9$$ и $$a_{35}=93$$: $$S_{35} = \frac{35}{2}(-9 + 93)$$ $$S_{35} = \frac{35}{2}(84)$$ $$S_{35} = 35 \cdot 42$$ $$S_{35} = 1470$$ Ответ: Сумма первых 35 членов прогрессии равна 1470.